離散確率分布

講義内容

Table of Contents

• ベルヌーイ分布 Bernoulli Distribution Be(p)
  • 定義と確率分布 Definition and Probability Distribution
  • 期待値と分散 Expected Value and Variance
• ２項分布 Binomial Distribution B(n, p)
  • 定義と確率分布 Definition and Probability Distribution
  • 期待値 Expected Value
  • 分散 Variance
• 幾何分布・ファストサクセス分布 Geometric Distribution/First Success Distribution Ge(p) Fs(p)
  • 定義と確率分布 Definition and Probability Distribution
  • 期待値と分散 Expected Value and Variance
  • 特性 Properties
• 負の２項分布 NB(N, p) Negative binomial Distribution NB(n, p)
  • 定義 Definition
  • 期待値と分散 Expected Value and Variance
• 離散一様分布 DU{1, 2, …, N} Discrete Uniform Distribution DU{1, 2, …, N}
  • 定義 Definition
  • 期待値と分散 Expected Value and Variance
• ポアソン分布 Po() Poisson Distribution Po()
  • 定義 Definition
  • 期待値と分散 Expected Value and Variance
• 超幾何分布 HG(N, m, n) Hypergeometric Distribution HG(N, m, n)
  • 定義 Definition
• 整理Summary

ベルヌーイ分布 Bernoulli Distribution Be(p)

定義と確率分布 Definition and Probability Distribution

成功・失敗しかない試行を ベルヌーイ試行 Bernoulli Experiment といい

これに付随する確率変数として

成功

失敗

このように確率変数 を定めるとき

この を ベルヌーイ確率変数 Bernoulli Random Variable という

また， の確率分布をベルヌーイ分布 Bernoulli Distributionと呼ぶ

成功率が のとき

と書く

期待値と分散 Expected Value and Variance

例：正しいサイコロを一回投げるとき，三の倍数が出たら ，三の倍数以外なら と定めると， を求めよ

２項分布 Binomial Distribution B(n, p)

定義と確率分布 Definition and Probability Distribution

回の独立なベルヌーイ試行（成功確率 ）における成功回数 とするとき

パラメータ の２項分布 Binomial Distribution

独立なベルヌーイ試行であるから，反復実行の定理より

これは２項確率変数の確率分布である

期待値 Expected Value

について， 回の試行結果を とすると，それぞれはベルヌーイ分布に従う

分散 Variance

 それぞれが独立であるから

例：正しいサイコロを120回投げるとき，1が出た回数を  とすると， を求めよ

$P(X = 10) = {120}C{10} \left(\frac{1}{6}\right)^{10} \left(\frac{5}{6}\right)^{110}$

幾何分布・ファストサクセス分布 Geometric Distribution/First Success Distribution Ge(p) Fs(p)

定義と確率分布 Definition and Probability Distribution

最初の成功は何回目で起こるかというようなことが重要になることが多い

成功確率  のベルヌーイ試行，独立に何回も行うとき，初めて成功するまで失敗した回数を  とする

これをパラメータ  の 幾何分布 Geometric Distribution と呼ぶ

似たように，初めて  回目に成功するとき

これをパラメータ p の ファストアクセス分布 First Success Distribution と呼ぶ（こちらを幾何分布と呼ぶ流儀もある）

期待値と分散 Expected Value and Variance

まずは二つの利用される結論を導き出す

両辺微分すると

さらに微分すると

次は  の期待値から

似たように，  の期待値も得られる

これも

を満たす

次に分散について

その中

故に

であるから

特性 Properties

今まで説明した離散確率分布と違って，幾何分布には重要な性質がある

例題で見てみよう

例：ある人の寿命  は， である，以下を求めよ

• 
• 
• 
• 



解答：

• 

• 

  つまり，しっぽ確率

• 

  ここで

  

  つまり，六十歳まで生きたことを忘れ，いつも赤ちゃんから出発する

  このような性質は，無記憶性 Memoryless と呼ぶ

  もっと厳密に，無記憶性とは

  つまり， という条件の下で

• 

• 

幾何分布の性質まとめ

• 期待値

• 分散

• しっぽ確率

• 無記憶性

負の２項分布 NB(N, p) Negative binomial Distribution NB(n, p)

定義 Definition

次の問題を考えよう

独立にベルヌーイ試行を行うとき，  回成功するまで，失敗回数の確率分布を知りたい

 失敗回数とする

 というのは，  回成功，  回失敗の次に成功する，その確率は

これを 負の２項分布 Negative Binomial Distribution と呼ぶ

また，負の２項分布の第一のパラメータは正の整数  とは限らない，正の実数  とするとき

期待値と分散 Expected Value and Variance

さっき言ったように，独立にベルヌーイ試行を行うとき，  回成功するまでの失敗回数は負の２項分布に従う

==x x x== o ==x x== o ==x x x x== o o ==x== o

ここで  回目の成功から  回目の成功の間の失敗回数を  とおくと

明らかに独立で， 

しかも  と分解できる

つまり，独立な幾何分布の和が負の２項分布となる

これを利用して，負の２項分布の期待値と分散は簡単に計算出来るでしょう

問題：  のとき，  を求めよ

解答：

その中， 

 のとき収束する

したがって

離散一様分布 DU{1, 2, …, N} Discrete Uniform Distribution DU{1, 2, …, N}

定義 Definition

どの標本点も同様に確からしく起こる，サイコロの目のような離散確率変数の確率分布は 離散一様分布 Discrete Uniform Distribution と呼ぶ

期待値と分散 Expected Value and Variance

期待値

分散

ポアソン分布 Po() Poisson Distribution Po()

定義 Definition

試行回数が大だが成功確率は小のケースは世の中に沢山ある，このような場合について考えよう

 回独立なベルヌーイ試行を行う，それぞれの成功確率は  ，成功回数  とすると， は２項分布に従う

ここで， がかなり大きい（近似的に無限大），同時に  がかなり小さい（近似的にゼロ）のとき，  だと仮定すれば

極限  をとると

ここで，確率分布

を ポアソン分布 Poisson Distribution と呼ぶ

つまり，ポアソン分布は  のときの２項分布の近似である

期待値と分散 Expected Value and Variance

同様に

ポアソン分布は平均と分散が等しい

その他，ポアソン分布には重要な性質がある，一体何でしょうか

再生性 Reproductive Property だ！再生性とは？

 で独立のとき

証明：